Учитель математики МОУ "Гимназия 2" Зверева Светлана Владимировна
10 класс

Приложение темы "Преобразование графиков функций" для решения задач.

Цель: Формирование умений и навыков применения преобразования графиков функций для решения задач.

Задачи: Систематизировать знания по теме: "Преобразование графиков функций", сформировать умения и навыки применять преобразование графиков для решения неравенств и систем уравнений.

Оборудование: Компьютер на столе учителя с проектором, экраном.

Программное обеспечение: Обучающая программа: "Преобразование графиков функций"(Delphi). Демонстрационная программа: "Поэтапное решение некоторых систем уравнений и неравенств графическим способом"(Macromedia Flash 5.0).

Ход урока:

  1. Создание мотивации. Учащимся предлагается аналитически решить задание предложенное в 2002 году на вступительных экзаменах в МГУ на географический факультет:

    2. Даны функции: f(x,y)=|y|+3|x|-3 и q(x,y,a)=y2+(x-2)(x+a).

    Требуется вычислить: а). При каком наименьшем значении параметра а система уравнений f(x,y)=0 и q(x,y,a)=0 имеет 4 различных значения; б) При этом параметре а найти площадь фигуры, координаты (x,y) всех точек которой удовлетворяют неравенству f(x,y)/q(x,y,a)<=0.

    Решение данной системы аналитическим способом достаточно затруднено по времени. Применим преобразование графиков функций к решению данной задачи.

  2. Актуализация и систематизация знаний по теме "Преобразование графиков" (обучающая программа "Преобразование графиков функций").

    3. Беседа с учащимися. Рассмотрим:

    1) y=f(x)+a

    Параллельный перенос по оси Oy на a единицы: вверх, если a>0, вниз, если a<0.

    2) y=f(x+b)

    Параллельный перенос по оси Ox на b единиц: вправо, если b<0; влево, если b>0.

    3) y=kf(x) Растяжение по оси Oy в k раз, если k<0 то еще и симметрия относительно оси Ox.

    4) y=f(kx) Сжатие по оси Ox в k раз, если k<0 то еще и симметрия относительно оси Oy.

    5) y=|f(x)| точки для которых y>0остаются на месте, а для которых y<0 подвергаются симметрии относительно оси Ox.

    6) y=f(|x|) точки для которых x<0 исчезают, а точки для которых x>0 остаются и дают симметрию относительно оси Oy.

    7) График уравнения |y|=f(x) получается из графика функции y=f(x), где точки для которых y>0 остаются и дают симметрию относительно оси Ox.

    8) Контрольные задания

  3. Формирование умений и навыков применения преобразований графиков функций.

    4. Прежде, чем перейти к решению предложенного ранее примера, построим график уравнения |x|+|y|=1 и рассмотрим тестовое задание |x-3|+|y-2|<=1 (проверка решения осуществляется с помощью программы, позволяющей увидеть все стадии решения в динамике).

    Подробнее рассмотрим решение приведенного выше задания.

    Прежде всего, определим графики уравнений. Графиком уравнения f(x,y)=|y|+3|x|-3 является ромб. Графиком уравнения q(x,y,a)=y2+(x-a)(x+a) является окружность. Ровно четыре точки касания этих графиков могут быть лишь в том случае, если окружность описана вокруг ромба или вписана в него. Первый вариант отпадает, так как диагонали ромба не равны и описанной вокруг такого ромба окружности не существует. Следовательно, эта окружность - вписанная, что подтверждается равенством сумм его противоположных сторон. Далее, найдем площадь треугольника АВО, где точка А имеет координаты (0;3), а точка В - (1;0): SABO=0,5*1*3=3/2.

    Далее найдем гипотенузу АВ по теореме Пифагора:


    Но площадь можно выразить и по формуле
    AB=1/2(AB)a. Если подставить S и АВ то получаем уравнение с одним неизвестным, корнем которого будет, то есть а.

    Чтобы ответить на второй вопрос, нужно определиться со знаком дроби f(x,y)/q(x,y,a). Данная дробь будет меньше нуля, когда числитель и знаменатель будут иметь разные знаки. Так как точки, лежащие в ромбе имеют отрицательный знак, а лежащие вне круга - положительный знак, то искомая площадь будет ограничена ромбом и кругом. Чтобы найти ее площадь, нужно из площади ромба вычесть площадь круга, то есть S=(60-9)/10

    В качестве закрепления учащимся можно предложить решить следующую задачу:

    Пусть (x0, y0) решение системы уравнений, найти y0 - x0. Программа позволяет проследить поэтапное построение графиков функций, увидеть закономерность получения графика уравнения из уже известных элементарных функций.

  4. Итог урока

Рассмотренные примеры продемонстрировали преимущество приложения преобразования графиков к решению задач. Графический способ является наболее эффективным при решении некоторых неравенств и систем уравнений, что позволяет экономить время при решении.

Применение компьютера при решении задач, связанных с использованием преобразования графиков функций, позволяет наглядно увидеть все этапы решения в динамике, значительно экономит время, затраченное на разбор заданий

Реклама